証明と描写 混合と還元に対する抽象的なアプローチが存在する。 それは美しい。 テキストにおいて、密度マトリクスの還元のところでよく見られる。 エベレットによって示された簡単な道筋を 彼の解釈にかかわらないようにおってみよう。 断り書きがない限り、基底は全て単位ベクトルからなる。 ベクトルｚがＨ1の中にあり、｛ｘi｝がＨ1の基底であるなら、 ｚは次のように書ける。 （１）　ｚ＝Σ（ｘi・ｚ）ｘi すなわちｚは基底ベクトルに沿った射影の和である。 同様に、さらに｛ｙj｝がＨ2の基底で、φがＨ1＊Ｈ2にあるなら、 それは次のように記述される。 （２）　φ＝Σ（ｘi＊ｙj・φ）（ｘi＊ｙj） ｃij＝（ｘi＊ｙj・φ）とおくと、 ふたつのやり方で要素を集めておくことができる。 （３）　φ＝Σｘi＊Σｃijｙj＝Σｘi＊ｖ（ｉ） 　　　　　＝Σ（Σｃijｘi）＊ｙj＝Σｕ（ｊ）＊ｙj それらのグループ分けが、還元された状態が何であるかを教える。 φと上記のような基底をおくと、次の結果になる。 （４）一般的還元：上記のようなφとして、 ＃φ[１]＝Σ｜ｕ（ｊ）｜2Ｉu(j) ＃φ[２]＝Σ｜ｖ（ｉ）｜2Ｉv(i) ｜ｕ（ｊ）｜2＝Σiｃij*ｃijで｜ｖ（ｉ）｜2＝Σjｃij*ｃij そうすると、含まれている全ての数とベクトルは、 与えられた基底を用いてφの記述から読まれる。 しかし、ベクトルｕ（ｊ）とｖ（ｉ）は一般に単位ベクトルではないし、 直交する基底を形成してもいない。 還元された状態は、明確に記述できるが、直交分解はされない。 状態φにあるときのＩ1＊Ｂの期待値を計算し、 状態ｖ（ｉ）にあるときのＢの期待値と どのように関係しているかを理解しましょう。 （φ・（Ｉ1＊Ｂ）φ）＝（φ・Σｘi＊Ｂｖ（ｉ）） 　　　　　　　　　　 ＝Σ（ｘi＊Ｂｖ（ｉ）・Σｘk＊ｖ（ｋ））* 　　　　　　　　　　 ＝ΣΣ（ｘi＊Ｂｖ（ｉ）・ｘk＊ｖ（ｋ））* 　　　　　　　　　　 ＝ΣΣ[（ｘi・ｘk）（Ｂｖ（ｉ）・ｖ（ｋ））]* 　　　　　　　　　　 ＝Σ（ｖ（ｉ）・Ｂｖ（ｉ）） ｖ（ｉ）は一般に単位ベクトルではないから、 ｖ（ｉ）にあるＢの期待値は、（ｖ（ｉ）・Ｂｖ（ｉ））を その長さの二乗｜ｖ（ｉ）｜2で割ったものに等しい。 だから、次のことを演繹する。 φにあるＩ1＊Ｂの期待値は、ようそ｜ｖ（ｉ）｜2によって重みづけられた、 ｖ（ｉ）にあるＢの期待値の平均である。 これが一般的な還元の結果が還元された状態＃φ[２]について 述べることである。 同様の演繹で還元された状態の他の主張を生み出す。 直交分解についての有益な系を得ることは助けになるので、 マトリクスの表現を見てみよう。 前の章で、エルミート演算子Ａは、次の場合に、マトリクス[ａmn]によって、 基底｛ｘi｝に相対的に、表現される。 （５）全てのベクトルｚにたいして、Ａｚ＝Σａmn（ｘm・ｚ）ｘn 知らなければならないことは、還元された状態のマトリクス表現である。 上記のようなφにたいして、Ｈ2にたいして計算する。 ＃φ[２]ｚ＝Σ｜ｖ（ｉ）｜2Ｉv(i)ｚ 　　　　　＝Σ｜ｖ（ｉ）｜2（１／｜ｖ（ｉ）｜2）（ｖ（ｉ）・ｚ）ｖ（ｉ） 　　　　　＝Σ（ｖ（ｉ）・ｚ）Σｃikｙk 　　　　　＝ΣΣｃik（Σｃijｙj・ｚ）ｙk 　　　　　＝ΣΣ（Σｃij*ｃik）（ｙj・ｚ）ｙk ＃φ[２]はマトリクス[ｂjk＝Σｃij*ｃik]によって、 基底｛ｙi｝に相対的に表現されている。 同じやり方で、＃φ[１]はマトリクス[ａij＝Σｃik*ｃjk]によって、 基底｛ｘi｝に相対的に表現されている。 前の章で、演算子は次の場合にその基底の直交分解を持つことをみた。 表現しているマトリクスがdiagonalの場合。 そのことは対角要素ａiiだけがゼロではないということを意味している。 次の結果を証明するすべを今手に入れた。 （６）φが上記のようなもので、＃φ[１]が基底｛ｘi｝の直交分解なら、 ＃φ[２]の状態ｖ（ｉ）への分解も直交している。 その場合、式φ＝Σ｜ｖ（ｉ）｜ｘi＊ｖ（ｉ）／｜ｖ（ｉ）｜を φのカノニカルな記述と呼ぶ。これは完全に相関した形である。 明らかに＃φ[１]は少なくとも一つ直交分解を持たなければならないから、 φは常にこのようなカノニカルな形で書くことができる。 これは、節の終わりで記述されたフォンノイマンの結果だ。 これを証明するために次のことが必要だ。 ベクトルｖ（ｉ）が各々直交していることを示す。 ｖ（ｉ）・ｖ（ｊ）＝（Σｃikｙk・Σｃjmｙm） 　　　　　　　　　＝Σｃik*Σｃjm（ｙk・ｙm） 　　　　　　　　　＝Σｃik*ｃjk しかしこれは、基底｛ｘi｝に相対的に＃φ[１]を表現する マトリクスの要素である。 仮定によって、ｉ＝ｊでない限りその要素は０である。 それゆえ、ベクトルｖ（ｉ）は直交している。 この結果から、＃φ[Ｓ']と＃φ[Ｓ−Ｓ']の分解は同じ次元のイメージ空間を持つ。 他方、そのようなカノニカルな記述は真ではないだろう。 はじめに、これは驚くべきことだ。 たとえば、もしＨ1、Ｈ2、Ｈ3が同じ次元を持つなら、 Ｈ2＊Ｈ3はＨ1より大きい次元を持つ。 そうして、それぞれの固有ベクトルの集合がＨ1、Ｈ2＊Ｈ3をはる Ｗ1とＷ2の混合を選ぶ。 しかし、そのとき、その定理は次のことを示す。 Ｗ1＝＃φ[Ｓ']でＷ2＝＃φ[Ｓ−Ｓ']のような、 Ｈ1＊Ｈ2＊Ｈ3上の純粋状態φは存在しない。 大きな複合系Ｓはある混合状態にある。 終わりに、還元の重要な関係と状態の間の重要な関係を結びつけよう。 相対的可能性。 前の章の節１と４から、次のような場合に、 状態Ｗ'はＷに対し相対的に可能である。 前者が確率１を、後者が確率１を与える全てのものに付与する場合。 この関係は二つのステップで結論づけられる。 Ｗに相対的に可能な純粋状態は、そのイメージ空間中のベクトルによって表現される。 ＷがＷ'のような純粋状態の混合であるなら、 すなわち、Ｗ'のイメージ空間はＷのイメージ空間の部分であるなら、 Ｗ'がＷに対して相対的に可能である。 （７）φはＷに対して相対的に可能であるなら、 ＃φは＃Ｗに対して相対的に可能である。 これは、いかなる部分系に対応する還元に対しても成立する。 証明は３段階である。 全体系Ｓがヒルベルト空間Ｈa＊Ｈb＊Ｈc上の状態Ｗを持つとしましょう。 一方で、その部分系Ｓ'が状態空間Ｈbをもつとする。 Ｐをその空間Ｈb上の射影演算子であるとしましょう。 Ｐが、＃Ｗ［Ｓ'］にある時、期待値１を持つ。 定義によって、状態Ｗにある時のＩa＊Ｐ＊Ｉcの期待値に等しい。 Ｗ＝ΣｗiＩx(i)で、φ＝Σｃiｘiとします。 そうすると、φはＷのイメージ空間にある。 そうすると、各々のｉに対して、（Ｉa＊Ｐ＊Ｉc）ｘi＝ｘi なぜなら、Ｗの各々の要素にあるとき、Ｉa＊Ｐ＊Ｉcは 期待値１を持つからだ。 しかし、そうすると、（Ｉa＊Ｐ＊Ｉc）φ＝φ それゆえＰは＃Ｗ［Ｓ'］においても期待値１を持つ。 いま、特殊な場合として、＃Ｗ［Ｓ'］のイメージ空間上の射影Ｐをとる。 その状態で、それは期待値１を持つから、＃φ［Ｓ'］にある時もこの期待値を持つ。 そうすると、後者が混合ΣｖjＩy(j)であるなら、 各々のインデックスｊに対してＰｙj＝ｙj そうすると、Ｐが射影する＃Ｗ［Ｓ'］のイメージ空間に、 ＃φ［Ｓ'］の全ての成分がある。 それゆえ、それらの要素で張られる＃φ［Ｓ'］のイメージ空間は、 ＃Ｗ［Ｓ'］のイメージ空間の一部である。 これが証明されるべきことだ。 ３．相互作用と混合状態の無知解釈 量子力学の混合状態は、古典物理で使われている確率分布のようなものとして、 示唆される。 すなわち、真なる状態の無知を表現している。 それは次のことを意味する。 全ての状態は常に純粋状態にあるが、そのどれにあるかは我々にはわからない。 この混合状態の無知解釈は、ライヘンバッハによって、 測定や遠距離相関を解釈するキーとして、提出された。 他方、Hans Margenauと彼の学生は、純粋状態は特殊な部分クラスであって、 系は純粋状態にはないという全く反対の考えを提出した。 目先をかえて、これは相互作用と非常に関係がある。 しかし、それより前に、この無知解釈がいくつかの問いにこたえるべきことは明らかだ。 もし系が混合状態Ｗ＝ｂＩx＋（１−ｂ）Ｉyにあるときに、 系Ｘが入っている純粋状態はなんであろうか？ 第一の答えは次のものだ。 ｘは確率ｂをもち、ｙは確率（１−ｂ）をもつ。 ｂ＝１／２なら、この直交分解は一意ではない。 もし［ｚ，ｗ］＝［ｘ，ｙ］でｚ⊥ｗなら、Ｗ＝１／２Ｉz＋１／２Ｉwでもある。 確立１／２をｚ、ｗ、ｘ、ｙに振り当てることは出来ない。 ここで、我々は選択に直面する。 全ての直交分解が等価であるか、一つが特権をもつかである。 もし後者であるなら、量子力学は不完全である。 なぜなら、どちらが正しいかを我々に教えないからだ。 もし前者なら、なぜこれが直交分解に対して特権を持つのか？ 前の章を思い起して、Ｘに対する可能な純粋状態の集合を、 全ての要素（可能な非直交分解の）の集合に広げるか、 Ｗのイメージ空間全体に広げるかは出来るであろう。 この最後のバージョンを擁護しようとしたとしよう。 Ｗに相対的に可能な純粋状態ｘにＸがある場合にかぎり、Ｘが混合状態Ｗにある。 そうすると、どのようにして、 同じイメージ空間を持つ違った混合状態がどのように出てくるのか？ 答えは次のようなものになるだろう。 それは、確率を付与するやり方の我々の無知を反映するものの一部であろう。 完全な答えを与えるためには、もう少し多くのことが必要だ。 しかし、大きな困難がある。 もしＸが純粋状態φ＝（１／√２）（ｘ＊ｙ＋ｘ'＊ｙ'）にあるＸ＋Ｙの部分とし、 Ｗ＝＃φであるなら、 Ｘがｘかｘ'になければならず、Ｙもｙかｙ'になければならない。 ここまで、無知解釈は、Ｘがｘ'でＹがｙのような コンビネーションを排除する理由を与えていない。 それでも、Ｉx*y'の測定がが値０を持つことを、確実に予測する。 Ｘの混合状態が大きな系の純粋状態の還元であるような場合にたいする特殊な付加で、 無知解釈が修正されうるであろうか？ たしかに、この確率上の推論がどこからやってくるのかは不思議である。 もし、実際の状況が、（ＸがｘでＹがｙ）か（Ｘがｘ'でＹがｙ'）であるなら、 なぜ、正しい測定結果の予測が、混合状態Ｗ'＝１／２（Ｉx*y＋Ｉx'*y'）にある Ｘ＋Ｙに対するものと同じではないのか？ 無知解釈が次のようなまちがった結論を導くとしばしば言われる。 Ｘが状態Ｗにあるなら、それは状態Ｗ'にある。 上記の修辞的な問いは、reductio ad absurdumに目が向けられる。 擁護者達が指摘するように、これは論理的には正しくない。 一般に、もしＸとＹが純粋状態ｘとｙにあるというなら、 Ｘ＋Ｙは状態ｘ＊ｙを持つものとして表現される。 しかし、もし部分の状態の知識が全体の「真の」状態を一意に決定できないなら、 これは、それを行なう場所だ。 それは藁をもつかむようなことに見える。 もし無知解釈に対する動機が、ミステリーを解くということにあるなら、 この動機づけは失われた。 この問題についていくらか大きな展望をえるために、 状態の概念を顧みましょう。それは少なくとも三つの側面を持つ。 （T）状態は（統計的）予測に対する基礎である。 （U）状態は、物理的準備もしくはフィルターを通す手続きによって、準備される。 （V）状態は、環境や系の性質とつながった制限に基づいて、展開する。 この章において、我々は第四の側面を見る。 （W）複合系の部分の状態は、一般には決定されないが、 関数的には全体の状態によって決定される。 （T）にだけに注目するなら、いくらか明かなものとして、 無知解釈を考えることが出来る。 （W）は（U）をつよく制限する。 完全に分割された他の系との過去の相互作用によって、系はある状態に準備されるだろう。 他のやり方で見てみると、相互作用した二つの系は、ともに一つの全体系である。 それら自身の状態は、全体系の還元でしかない。 その全体の状態における統計的相関が完全にもつれあっている部分を持つ。 実際に、二つの系の相互作用は、もつれあい、はなれ、再びもつれあうことが出来る。 単純で有益な例がベルトラメッティとカッシーニによってあたえらえている。 力学的展開において、部分系は純粋状態と混合状態を行ったり来たりする。